Presentación

Estimado lector, para iniciar se logró conformar un pequeño equipo de trabajo, lo cual permitió terminar las espectativas planteadas y se espera que el Blog Educativo ayude un poco a la orientación de sus visitantes.

 

Contenido:

• Gráficas Tridimensionales 
• Trazado de Curvas Técnicas
• Homotecia
• Simetría Central 
• Simetria axial
• Rotación 
• Deslizamiento

Integrantes: 

• Marvin Antonio Guerrero
• Jose Antonio Olivas
• Omar Gabriel Sevilla  

Profesora:

• Jeame Rios

Simetría

Composición de simetrías

Con el mismo centro

Como una simetría de centro O equivale a un giro de centro O y amplitud 180°, al aplicar otra transformación el ángulo será de 360°, por lo que se obtiene la misma figura.

Con distinto centro

La composición de dos simetrías centrales con distinto centro P y Q (SpºSq) es una traslación de vector el doble que el vector que une Q y P. deslizamiento.

El movimiento juega un papel importante en muchas de las actividades que realizamos a diario. Continuamente, estamos ante situaciones de objetos que se mueven: se trasladan, giran o se reflejan.

Los movimientos básicos de la geometría plana son:

Traslaciones, Giros o Rotaciones y Simetrías o Reflexiones. A los tres movimientos anteriores se une el movimiento compuesto denominado Simetría con deslizamiento y el movimiento conocido con el nombre de Simetría central, que realmente es un giro. A continuación, aparecen descritos los cinco movimientos anteriores.

  La traslación (Traslation en inglés)

Podemos pensar en la traslación como en un deslizamiento. A diario, tenemos muchas experiencias de desplazamientos: cuando abrimos un cajón, cuando bajamos o subimos una persiana, en los deportes de patinaje...

Para estudiar este movimiento con algo más de detalle, vamos a restringirlo al plano. Consideraremos el deslizamiento de un cuadrilátero que se desplaza desde el punto A al  A`.

La traslación se realiza en una determinada dirección y sentido y el cuadrilátero recorre una determinada distancia. En este caso:

* La dirección es la que marca la recta que pasa por A y por A`.

* El sentido es el que va de A a A` , es decir hacia la derecha.

* La distancia recorrida es la que separa los puntos A y A`.

Para trasladar una figura necesitamos dar, por tanto, una flecha o vector , ya que dicha flecha marca todos los elementos necesarios para realizar la traslación:

* Una dirección: la de la recta que contiene al vector.

* Un sentido: el que marca la punta de la flecha (hacia la derecha).

* Una distancia: la determinada por la longitud de la flecha.

En la animación siguiente se puede observar como el mosaico de la figura queda invariante o se superpone mediante traslación:

  Prácticas con vectores y  traslaciones

Haz clic sobre el icono con forma de cubo si quieres practicar con traslaciones y vectores. Una vez que hayas entrado en la página web del Ministerio de Educación, debes navegar por dicha web siguiendo el itinerario que se indica a continuación:

Descartes/Unidades didácticas/4º ESO(B)/Movimientos en el plano

También puedes seguir este otro itinerario:

          Descartes/Unidades didácticas/3º ESO/Movimientos en el plano

S  Secciones 

  La rotación o giro (Rotation  en inglés)

Tenemos ejemplos de giros en muchas de nuestras actividades cotidianas. Al conducir un coche: el volante, la manivela de la ventanilla o las propias ruedas realizan movimientos de giro; al abrir una puerta,...

En el plano, un giro viene determinado por el centro de giro (un punto) y por el ángulo de giro.

Podemos realizar un movimiento de rotación, con centro un punto O y amplitud 60º, sobre el triángulo ABC, en la forma que se indica en la figura siguiente:

En la animación, se puede observar como el mosaico de la figura queda invariante mediante rotación:

  Prácticas con giros

Haz clic sobre el icono con forma de cubo si quieres manipular giros. Una vez que hayas entrado en la página web del Ministerio de Educación, debes navegar por dicha web siguiendo el itinerario que se indica a continuación:

Descartes/Unidades didácticas/4º ESO(B)/Movimientos en el plano

  La reflexión o simetría axial (Reflection en inglés)

En la vida también tenemos bastantes ejemplos de simetría o reflexión, sobre todo en la imagen de los espejos.

Podemos realizar una reflexión de eje la recta  r  sobre un triángulo ABC, en la forma que se indica en la figura: 

En el gráfico se muestra un mosaico que queda invariante mediante la simetría axial que tiene por eje la línea marcada en rojo:

S  Secciones 

   Prácticas con simetrías

Haz clic sobre el icono con forma de cubo si quieres familiarizarte con las simetrías. Una vez que hayas entrado en la página web del Ministerio de Educación, debes navegar por dicha web siguiendo el itinerario que se indica a continuación:

Descartes/Unidades didácticas/4º ESO(B)/Movimientos en el plano

  La simetría con delizamiento (Glide reflection en inglés)

La simetría con deslizamiento es un movimiento que resulta de la combinación de una simetría y una traslación (el eje de simetría y el vector de traslación deben ser paralelos).Tal es el movimiento que se realiza para pasar del triángulo ABC al triángulo A´´B´´C´´:

En la animación se puede observar como el mosaico queda invariante por una simetría con deslizamiento:

Rotación

Concepto:

Decimos que una figura plana tiene simetría rotacional cuando podemos encontrar un centro (llamado centro de rotación) de manera que si giramos la figura completa un cierto ángulo (mayor o igual a 0º y menor que 360º), la figura rotada coincide con la figura original.

Cuando un figura tiene simetría rotacional, a cada punto le corresponden otro punto (que se llama "punto rotado" o "imagen") a la misma distancia del centro, de forma que el ángulo que forman ambos con el centro de rotación es siempre el mismo. El número de veces que se puede hacer coincidir la imagen rotada con figura original se llamaorden de la rotación.

Cualquier figura tiene al menos una simetría rotacional de orden 1 alrededor de cualquier punto que elijamos como centro, pues basta elegir como ángulo de rotación 0º (es decir, dejar la figura como está).

En esta actividad deberás crear figuras que tengan simetría rotacional, a partir del centro de rotación que la aplicación te mostrará. Podrás elegir el orden de rotación de la figura y deberás calcular, según sea el orden elegido, el ángulo de rotación correspondiente.

Tutoriales en Youtube:

Rotación

Simetría Central

Se denomina simetría a la correspondencia que se registra entre la posición, la forma y l tamaño d aquellos componentes que forman un todo. Central, por su parte, es el adjetivo que refiere a lo vinculado a un centro (el espacio equidistante de los límites de algo).

Por otra parte, la simetría respecto a un punto se llama simetría central y los puntos correspondientes, homólogos.

En una simetría central, los segmentos homólogos son iguales y la medida de los ángulos correspondientes también son iguales.

Dos puntos P y P* son simétricos respecto del centro de simetría o cuando OP=OP*, esto es P y P* equidistante del centro de simetría

Ejemplo 1:

Dibuja el triángulo simétrico respecto del centro O del triángulo dado ABC.

Características de la Simetría Central

• La imagen simétrica central de un segmento es otro segmento de igual longitud; si en el centro de simetría está en un segmento simetrizable, es simétrico de sí mismo, llamado punto doble.
• La imagen de un triángulo, mediante simetría central, es otro triángulo congruente con el primero.
• La imagen de un polígono, mediante simetría central, es otro polígono congruente con el primero.
• Los polígonos regulares con un número par de lados tienen como centro de simetría su centro geométrico (baricentro); de modo que a cualquier punto de este polígono, le corresponde un homólogo que está en el mismo polígono.
• El centro de un triángulo equilátero no es centro de simetría, en el sentido de que reproduzca la misma figura; por decir el homólogo de un vértice sale del lado opuesto. La misma situación en el caso de un tetraedro regular, su centro geométrico no es centro de simetría.
• El centro de un cuadrado es centro de simetría de la figura; de igual manera, el centro de un cubo es centro de simetría del sólido. El centro de la esfera lo es también centro de simetría.

Cualquier punto cumple las dos siguientes condiciones:

• A y A’ están alineados: la recta que los une pasa por O.
• La distancia de O al punto A es igual que la de O al transformado A’.

Simetría central y coordenadas

Estos triángulos son simétricos respecto del centro O.

Para pasar de un punto a su simétrico se cambia el signo de las coordenadas:

Si P =(x,y) entonces P’=(-x,-y).

Coordenadas de los puntos	Coordenadas de sus simétricos
A=(3, 1)	A=(-3, -1)
B=(1, 2)	B=(-1, -2)
C=(2, -1)	C=(-2, 1)

Dos puntos P=(x,y) y P’=(x’,y’) simétricos respecto de origen de coordenadas tienen sus abscisas y ordenadas opuestas.

Las ecuaciones de la simetría central son:

x’ = -x, y’ = -y

Tutoriales:

Simetría Central

Simetría Central en un Polígono

Homotecia

Una homotecia es una transformación afín que, a partir de un punto fijo, multiplica todas las distancias por un mismo factor. En general una homotecia de razón diferente de 1 deja un único punto fijo, llamado centro.

Se puede considerar a la homotecia una homología particular de eje impropio, con centro en el de homología.

Definición

Esquema de operación de una homotecia, en el plano euclídeo.

Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {K} }$. Sea X un elemento (visto como un punto) de E. La homotecía de  centroC y de razón k, denotada  envía un punto M del espacio vectorial sobre el punto M' tal que:

(1a)${\displaystyle M'-C=k(M-C)\,}$

La ecuación anterior puede escribirse también como una transformación afín de la forma:

(1b)${\displaystyle M'=kM+(1-k)C\,}$

La anterior relación puede escribirse vectorialmente en el plano como:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}m'_{x}\\m'_{y}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}k&0&(1-k)c_{x}\\0&k&(1-k)c_{y}\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}m_{x}\\m_{y}\\1\end{bmatrix}}}$

Donde: ${\displaystyle M'=(m'_{x},m'_{y})\,}$, ${\displaystyle M=(m_{x},m_{y})\,}$ y ${\displaystyle C=(c_{x},c_{y})\,}$.

En tres o más dimensiones la fórmula anterior se generaliza trivialmente.

La homotecia es una transformación afín, composición de una transformación lineal y una traslación, y por consiguiente conserva:

1. el alineamiento: las imágenes de puntos alineados son alineados: (A,B,C) y (A', B', C') en la figura
2. el centro de un segmento, y más generalmente el baricentro: la imagen del baricentro es el baricentro de las imágenes. En la figura, B es el centro de [A;C] y por lo tanto B' es el de [A';C']
3. La imagen de línea es otra línea paralela a la original.
4. el paralelismo: dos líneas paralelas tienen imágenes paralelas. En la figura (B'E') // (C'D') porque (BE) //(CD).
5. Si k ≠ 1, el centro de la homotecia es el único punto fijo (k = 1 corresponde a la identidad de E: todos los puntos son fijos).
6. k = - 1 corresponde a una simetría de centro C.
7. Si k ≠ 0, ${\displaystyle \scriptstyle h_{C,k}}$ admite como trasformación recíproca ${\displaystyle \scriptstyle h_{C,1/k}}$ (cuando k = 0, no es biyectiva).
8. Al componer dos homotecias del mismo centro se obtiene otra homotecia con este centro, cuya razón es el producto de las razones de las homotecias iniciales: ${\displaystyle \scriptstyle h_{C,k}}$ o ${\displaystyle \scriptstyle h_{C,k'}}$ = ${\displaystyle \scriptstyle h_{C,k\cdot k'}}$.
9. Al componer homotecias de centros distintos, de razones k y k', se obtiene una homotecia de razón k·k' cuando k·k'≠1, y una traslación si k·k'=1. El conjunto de las homotecias (con k≠0) y las translaciones forman un grupo.

Cuando K es mayor que cero es k mayor Cuando el cuerpo de escalares son los Reales, se cumple que:

1. todas las longitudes son multiplicadas por |k|, el valor absoluto de la razón.
2. el cociente de longitudes es conservado: A'C'/B'E' = AC/BE en la figura
3. los ángulos orientados son conservados, en particular los ángulos rectos. Es obvio en la figura.

Más aún:

1. k = - 1 corresponde a la simetría de centro C que es la rotación alrededor de C de ángulo π radianes (180º).
2. |k| > 1 implica una ampliación de la figura.
3. |k| < 1 implica una reducción.
4. k < 0, la homotecia se puede expresar como la composición de una simetría con una homotecia de razón |k|, ambas de igual centro. Que la homotecia original.

Homotecias en el plano real

En esta sección, los escalares serán números reales.

Una homotecia generalizada en el plano es una transformación del plano en sí mismo en donde una recta y su homóloga son paralelas. De esta definición, se sigue fácilmente que las homotecias conservan ángulos, es decir son transformaciones conformes del plano, que el conjunto de homotecias forman un 'grupo' y que las traslaciones son casos particulares de las homotecias.

Consideremos la homotecia en la cual la recta OA se transforma en la recta O'B, siendo O' el homólogo de O y B el homólogo de A. Necesariamente, las rectas OO' y AB son invariantes en esta homotecia y el punto H1, centro de la homotecia, es invariante. En esta homotecia la circunferencia de centro O y radio OA se transforma en la circunferencia de centro O' y de radio O'B y la razón de la homotecia es la razón (positiva) de los segmentos O'B y OA.

Si por el contrario, el punto A se transforma en B' entonces la recta AB' es invariante y es el punto H2 el centro de homotecia. En este caso, la razón de la homotecia es negativa.

Ejes de homotecia

Dadas dos circunferencias, éstas siempre se pueden considerar como homotéticas una de la otra.

En la figura de a lado, las líneas de s1, es en la homotecia de razón positiva, con centro en P1, o de razón negativa, con centro de homotecia en N1.

Consideremos las homotecias, una con centro en P1 en la cual la circunferencia S2 es homotética de la circunferencia s1, y la homotecia de centro P3 en la que la circunferencia s3 es homotética a la circunferencia s2. La composición de estas dos homotecias es la homotecia de centro en P2 que transforma la circunferencia s1 en la circunferencia s3. Es por esta razón que los centros de homotecia positivos, P1, P2 y P3 están alineados. En general, dadas tres circunferencias existen seis centros de homotecia, alineados tres a tres sobre cuatro rectas.

Estas rectas son las llamadas ejes de homotecia de las tres circunferencias dadas.

Trazado de Curvas Técnicas

Las curvas policéntricas son figuras planas que para su ejecución de su trazado requieren de varios centros o puntos de referencia. Entre estas existen dos clases de curvas; las curvas abiertas y las curvas cerradas.

Por otro lado, se afirma que las curvas técnicas están formadas por arcos de circunferencia tangentes. Estas se clasifican en: Óvalos, Ovoides y Espirales.

Curvas cerradas: El Óvalo

El ovalo es una curva cerrada y plana,compuesta de cuatro arcos, iguales dos a dos entre los opuestos. Tiene dos ejes perpendiculares y de diferentes dimensiones, uno mayor y otro menor que dividen a la figura, cada uno, en dos partes iguales.

Ejemplo para guiarse en el trazado de Óvalos dado su eje mayor.

Figura Número 1

Ejemplo para guiarse en el trazado de Óvalos dado su eje mayor.

Figura Número 2

Curvas Cerradas: El Ovoide

El Ovoide es una curva cerrada, que presenta la forma de un huevo. Está compuesto de cuatro arcos, entre los que dos opuestos son iguales entre sí, y los otros dos desiguales.

Tiene dos ejes perpendiculares, los mismos que determinan la mayor longitud y la mayor anchura. Estos son: el eje mayor y el eje menor. El eje menor divide a la figura en dos partes iguales, en cambio el eje menor divide a la figura en dos partes desiguales.

Construcción de un Ovoide

1. Con centro en la mitad 1 del eje menor A-B, con radio A-I, trazar una circunferencia.
2. Levantar en 1 una perpendicular dando 2.
3. Unir con rectas 2 con A y con B, prolongándolas en 2.
4. Con radio A-B, cento en B, trazar el arco A-3, luego con centro en A, la curva B-4.
5. Con radio 2-3, centro en 2, trazar la curva 3-4.

Practicas en YouTube:

Óvalo

opción 1

Trazado de un Óvalo dado su eje mayor
opción 2

Trazado de un Óvalo conocido su eje menor

Ovalo
opción 1

Trazado de un Ovoide dado su eje mayor
opción 2

Trazado de un Ovoide dado su eje menor CD

By Mar Guerrero

Gráfica Tridimensional

Se espera que con esta información se logre asimilar el desarrollo del conocimiento, habilidades y destrezas en el trazado de Gráficas Tridimensionales.

Definición:

Existen distintos modos de comprender lo que es una gráfica tridimensional, se tomara una designación fiable. En pocas palabras, un objeto es tridimensional sólo si éste tiene tres dimensiones que pueden ser vistas y percibidas por el ojo humano.

Muestras de Gráficas Tridimensionales

Figura Número 1: Posee una inclinación de 30°

Figura Numero 2: Tiene una inclinación de 30°

Vistas Isométricas

Figura Número 1: Se logra observar los distintos tipos de vistas, entre estas tenemos las más comunes: vista lateral, frontal, y superior.

Figura Número 2: Ejemplos de vistas Isométricas para practicar en cuadriculas.

Enlace a YouTube:

Se presenta un tutorial donde se aprenderá más acerca de las vistas auxiliares: https://www.youtube.com/watch?v=FPFNd4fs2q8

By Mar Guerrero